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f (A) dA = $美元(+ 3)哒

被称为曲面积分。因为表面是一个区域,表面积分面积积分。

注意,在表面整体,我们提到一个函数,适用于表面的固体。可视化的概念,考虑一个坦克和水进入和离开它。表面的功能应用这种坦克可以水进入它的速度和水,让它的速度。(水进入和离开的地方坦克是槽的表面,孔在哪里穿过水进入和离开。坦克的其他部分不会开放水;因此,没有函数将应用在这些部分。)表面积分可以应用于速度函数的入口和出口水。

现在,另外,注意图中微分容积dV。这个微分容积不是表面的固体,但里面。假设存在一个函数,适用于内部体积。在曲面积分的情况下,该函数可以集成在整个卷,要做到这一点,使用符号L。让

功能性能试验(V) = V + 3 V和整合的结果是vs .因此,

Vs = f (V) dV = f (V + 3 V3) dV (55)

阵线(V) dV =阵线(V + 3) dV称为体积积分。

函数的一个例子应用体积内的任何披露内部体积。再次,考虑上面的坦克,这一次,有一个化学反应发生。这个化学反应可以被表示为一个函数;因此,它可以作为体积积分的被积函数。

向量

一个向量是一个数量,大小,方向,方向。在^本书中,我们将使用箭头的屋顶上一封信表示一个向量。因此,S代表任何向量。笛卡儿坐标系统的xyz,这个向量可能分解成其组成部分如下:

s = Sj n + s2n2 + s3n3 (56)

Sj、S2和S3的标量组件在x, y,和z方向,分别和n1、n2, n3和单位向量在x, y,和z方向,分别。

参考图1。如图所示,dA的单位向量n在其表面。dA x - y平面上的组件。如图,单位向量正常dxdy n3, z轴的方向。在向量微积分,dA的组件可以通过n和n3的标量积。本产品是指定的n•n3。换句话说,dxdy = n•n3 dA (57)

另一个向量,我们需要讨论微分算符,诉这个向量可能在笛卡尔坐标分解如下:

V = n, + - r - n2 + - - - n3 (58)

点(或标量)产品实际上是两个向量的大小和它们之间的余弦。cos(90°等于零,所以的点积向量垂直的(正交)等于零。笛卡尔坐标的单位向量正交轴;因此,他们的“混合点积”等于零。因此,n•n2 = 0;n•n3 = 0;和n2•n3 = 0 (59)

现在,cos(0°等于1。因此,一个单位向量的点积与自身等于1。换句话说,n•n2 = 1;n2•n2 = 1;和n3•n3 = 1 (60)

Usi ^ g这些新发现的公式,我们评估微分算符和向量的点积美国这是写如下:

S = (dx n + dy ^ + drz•(sA) + S2n2 + S3 n3) (61)

简化上面的方程会产生

V t ds1 + ds2 + ds3¡^

S = dx + dy + dd”(62)

Gauss-Green散度定理

这个定理将面积积分转换为体积积分,反之亦然。让年代任何向量和n是单位向量正常区哒,其中一个是周边地区的域体积y。见图1。现在^形成体积积分合资(dS3 / dz) dV, S3是年代的标量组件在z轴。因此,

J d-dV = d3dxdydz = J jj 2 d - dz jdxdy = jj 2 d - dzn•n3]哒

n3是积极的z方向的单位向量。

是的{J / itdz ^ n”3] dA = L {53 (x, y, Z2)} [n×n] dA2

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