伴随数据同化方法
安德鲁·m·摩尔
摘要伴随方法的使用在数据同化了,和说明性的例子。
14.1介绍
伴随运营商核心许多操作数据同化系统用于数值天气预报,和海洋学也越来越受欢迎。在这一章我们将回顾伴随数据同化方法的使用。我们开始在教派。14.2的勘探的共轭线性算子的概念,和最重要的属性,使其数据同化的一个不可或缺的工具。熟悉使用说明性的例子在突出重要的想法。支撑四维变分资料同化的基本概念(4 d-var)了。14.3和14.4在教派。示例4 d-var加利福尼亚海流系统计算提出了使用区域海洋建模系统(rom)。
14.2什么是伴随算符?
伴随只存在线性算子。伴随算子的概念是最好的说明了考虑第一个线性算子的离散形式和功能,即矩阵和向量。下面是一个简短的暴露在伴随运营商,但一个优秀的深入描述经典文本中可以找到兰索斯(1961)。
海洋科学部门,加州大学圣克鲁斯,CA 95064年,美国的电子邮件:(电子邮件保护)
a·席勒g . b . Brassington (eds),操作海洋学在21世纪,351年
DOI 10.1007 / 978 - 94 - 007 - 0332 - 2 - _14,©Springer科学+商业媒体帐面价值2011
14.2.1空间
任何连续函数空间中线性算子具有离散模拟形式的一个矩阵。同样,任何连续函数离散模拟一个向量的形式。是思想,考虑N x M矩形矩阵的矩阵操作的集合向量u长度M和收益率的一组向量长度为N的w, w =盟。所以我们说一个地图的空间尺寸M (M-space) N维空间(“下”)。的伴随算子可以确定的矩阵转置,即。之间的正式连接矩阵转置和伴随算子将教派。14.2.2,但是现在确定伴随矩阵的转置就足够了。伴随的是M x N矩阵和向量的集合v的运作长度N z收益率向量的集合的长度,即z = ATv。所以我们说从下到M-space伴随地图。
假设我们希望解决线性方程组y = Ax和y。这代表了一个N方程组的M x的未知元素。如果N < M,据说系统方程组欠定的因为有少于未知数。在这种情况下,我们可能会问是否存在一个独特的或有意义的解决方案为x ?答案可能是肯定的,并且是由所谓的“天然解决方案”的伴随算子起着至关重要的作用。假设我们寻找一个解决方案的形式x = at。而向量x居住在M-space,向量下驻留,所以我们实际上是限制搜索解决方案下,已知向量y所在的空间。我们已经减少了问题解决y = AAT提出因为AAT N * N的矩阵,地图已知年代的N元素y。解决x = at叫做自然的解决方案,和年代被称为母函数。我们应当看到,生成功能是重要的球员在某些数据同化方法。
让我们考虑一个熟悉的地球物理的例子自然解决方案起着至关重要的作用。相对涡度的流体元素的垂直分量是由g = dv / dx - d«/ dy (u, v)的x安迪分量速度。假设我们有一个领域的g值离散点(x, y)如在网格上的数值模型。这是一个函数的离散模拟,我们将用向量表示g, g的每个元素代表一个网格点下g g。考虑到字段的值,我们如何找到相应的速度组件(在M-space u, v),其中M = 2 n在这个例子中,和u和v网格点值的向量u和v的分别吗?这是一个欠定的线性系统的一个自然的解决方案存在的形式:
一个= (- d / dy d / dx)和g = aat = - (92 / dy2 d2 / dx2)。如果我们确定s = - f恢复熟悉相关方程g = V2f涡量流函数g ^起源于亥姆霍兹定理水平non-divergent流。这个例子表明,流函数的生成函数涡度水平non-divergent流。
回想一下,N x M矩阵有一个操作员相当于一个在函数空间,所以对于N < M函数行为只在函数空间的一部分。我们说只有一些函数空间的尺寸被激活的A .在离散情况下最多只有N可能的M维矩阵A。更一般的被激活,激活维度对应的p < N AAT的非零特征值特征向量X . .其余非活性维度与ξ= 0,p < < N被称为“零空间。”The M x N adjoint operator AT identifies the activated part of the M-space and ignores the null space. The natural solution y = AATs therefore represents the solution that exists only in the activated dimensions of A. In the parlance of linear algebra, AAT is the projection onto the subspace spanned by the range of A. In the theory of linear differential equations, the natural solution is also called the particular integral. Solutions that reside in the null space satisfy the equation Ax = 0 and in the theory of linear differential equations are referred to as the complementary function. The general solution of any linear differential equation or equivalent discrete linear system is the sum of the particular integral (natural solution) and the complementary function. In both function space and discrete space the adjoint operator identifies the space in which these two parts of the general solution reside. As we shall see later, we can use this important property of adjoint operators for data assimilation.
总结这次讨论向量空间之前,要考虑N x M矩阵是很有意义的,现在N > M .相应的线性系统y = Ax以来可能在决定或制约方程比有未知元素x。记得伴随向量地图从下到M-space解x所在,所以人们很容易解决系统ATy = ATAx。在这种情况下ATA是由在张成的子空间上的投影。很容易证明这个系统最小化的解决方案(Ax - y) T (Ax - y)和熟悉的最小二乘解的确定系统。因此我们看到,伴随算子识别中扮演着一个关键的角色在决定系统的最小二乘解。
14.2.2运营商伴随
完成操作员伴随和矩阵之间的联系,是很有意义的回归函数空间。在函数空间,我们将表示一个线性算子作为伴随的运营商+。考虑到函数u和w w =非盟的连续模拟离散情况考虑14.2.1教派。对于任何两个函数u和v,通常存在一个内积和相关规范,我们将通过{v, w}表示。一个伴随算子总是与特定的内积和被定义为{v,非盟}= {+ v, u},通常被称为绿色的身份。不同内积的伴随运营商实际上是线性相关的。为了说明这一点,假设我们让{v, w}代表欧几里得范数的内积,并定义一个不同的内积
(v, w) = {v, Mw},现在M是一个线性自伴的(即M + = M),可逆算子。伴随的对新定义的内积将表示,绿色的身份(v, Au) = (Atv, u) ={μM ~ l4 + Mv,},这表明=—+ M。
在离散情况下,绿色的身份被称为双线性的身份,以及函数的内积空间点积所取代,这对欧几里得范数有{v, w} = vTw。w =非盟,伴随的双线性的身份成为vTAu = (ATv)你= uTATv,表明欧几里得范数的离散伴随算子A +的等效矩阵的转置。如果是一个N x M矩阵,分别下u v和驻留和M-space。而点积vTw = vT盟评估下它是独特的因为z = ATv和M-space伍兹= uTATv = vTAu = vTw。
练习1:如果是运营商的伴随方阵所代表的一个关于欧几里得范数vTw,推导伴随算子的表达式对常态vTMw M是一个对称的,可逆矩阵,证明= M-1ATM。
14.2.3一个说明性的例子
教派的想法。14.2.1和14.2.2是最好的说明使用一个简单而又熟悉的地球物理的例子。考虑一个矩形,均匀、平面触底的海洋原状深度H,旋转通道的形式跨越笛卡尔域0 < x < 1 0 < < 1,周期在x, y和主题为零正常流动边界条件的循环y = 0, y = 1。
14.2.3.1线性浅水方程
我们将首先考虑的情况下线性波浪在海洋循环线性浅水方程所描述的:
(u, v)在哪里速度在x和y方向上的分量,h是海洋表面位移,f =财政年度)是科氏参数,h是一个常数安静的深度,和g的重力加速度。零正常流动边界条件对应于v = 0, y = 0, y = 1,而x上的周期性要求u (0, y) = (1, y) v (0, y) = (1, y)和h (0, y) = h (1, y)。回想一下,伴随的d U dt -阵线=国民幸福指数/ dx dv / dt +傅=国民幸福指数/ dy Bh / Bt + B(胡)J d x + B (H v) = 0
方程式。(14.1)-(14.3)取决于内积的选择。自然成为浅水方程的内积是产生能量的标准:
E = f f 1 h (u2 + v2) + 1 gh2dxdy。(14.4)
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